Considerando uma função integravel no interval \([a,b]\) definida pelo integral: \[F(x)= \int_{a}^x f(t)dt \] O método de integração de Monte carlo está assente na Lei dos Grandes Números para aproximar a integração, usando o teorema do valor médio para integrais.Se \(f(X)\) é continuo no interval \([a,b]\), então existe um valor \(u\) em \([a,b]\) em que é possível applicar a fórumla \[\frac{F(b)-F(a)}{b-a}= F'(u)\] \(E[f(U_{i})]\) é média da amostra simulada a partir de variaveis aleatórias \(U_{1}, U_{2},..., U_{i}\) com distribuição uniforme, no intervalo \([a,b]\). Podemos assim reescrever tudo da seguinte forma: \[\int_{a}^b f(u)du=(b-a)*E[f(U_{i})]\] assim é possivel aproximar por \(b-a\) vezes a média da amostra simulada da nossa distribuição no dado intervalo. Estamos em condições de criar o nosso programa para as alineas que se seguem.1
#Código segundo o que foi referido acima
u <- runif(10000, min = 0, max= 2)
mean(2*u)*(2-0)## [1] 3.960685#Alternativa
library(cmna)
g <-function(x) 2*x
mcint(g,0,2)## [1] 3.963108Compara-se os resultados pelo método de MOnte carlo com a função integrate
g <-function(x) 2*x
integrate(g,lower= 0,upper= 2)## 4 with absolute error < 4.4e-14#Código segundo o que foi referido acima
u <- runif(10000, min = -3, max=3)
mean(exp(-u^2))*(3-(-3))## [1] 1.783461#Alternativa
f <-function(x) exp(-x^2)
mcint(f, -3, 3)## [1] 1.638552Tal como anteriormente compara-se os resultados obtidos pelo método de Monte Carlo com a função integrate
f <-function(x) exp(-x^2)
integrate(f,lower= -Inf, upper= Inf)## 1.772454 with absolute error < 4.3e-06Ilustra-se uma outra forma de proceder à Simulação MC atraves do package cmna↩